Analysis mit dem Computer by Alexandra Otto (auth.)

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1 1 =1 und für i#j L. ) 1 J = O. 6) das unsere Forderungen erfüllt. Es gilt nämlich für alle i 6 {O, ... ) = Yo 0 + ... ) + •.. ) 111 + ... + Yi 1 + ... + Yn 0 nn1 = y 1. • Wie sehen nun aber die Terme für L;(x) aus? Wir wollen die Konstruktion ausführlich für Lo(x) beschreiben. Die Funktion hat die Nullstellen xl' x2, ... • (x - x. 1) (x - x. 1)"'(x - x ) 11+ n n (1. 5) erfüllt und den Grad n hat. 6), so sieht man, daß p(x) höchstens den Grad n hat. Wir haben also ein Interpolationspolynom gefunden, das alle gegebenen n + 1 Wertepaare enthält und höchstens den Grad n hat.

Wollen wir explizit im Programm das Interpolationspolynom bestimmen, so müssen wir wie bei der Berechnung der Lagrang~ - Polynome die Koeffizienten der Produkte der Linearfaktoren bestimmen. Benötigen wir nur den Wert des Interpolationspolynoms an einer Stelle x, so können wir die Berechnung analog zum Horner - Schema durchführen. Gesucht ist für unser 2. 5. 5) 19 = "4' Programm zur Bestimmung des Interpoaltionspolynoms mit Hilfe der Newtonschen Interpolationsformel - in ELAN: REAL PROe steigung (INT eONST i, j): (schema [i][j-l] - schema [i-l][j-l])/ (stelle [i] - stelle [i-j+l] ) END PR oe steigung; deklariere die notwendigen variablen; hole stuetzpunkte; fOR zeile fROM 2 UPTO n REPEAT fOR spalte fROM 2 UPTO zeile REPEAT schema [zeile][spalte] := steigung (zeile,spalte); put (schema [zeile][spalte]); END REPEAT; line; END REPEAT; gib koeffizienten aus; frage nach neuen stuetzpunkten.

4 Betrachten wir die Zeichnung, so drängt sich sofort die folgende Frage auf: Wäre es nicht besser, die Sekante Sn-2 durch Pn-t(x n- t ; f(x n_ t» und -40P n _ 3(x n _3;f(x n _3» zu legen? Dies würde bedeuten, daß wir nach der Bestimmung des Schnittpunktes der Sekante mit der x - Achse die neue Sekante durch die Punkte mit unterschiedlichen Vorzeichen in den Funktionswerten legen. Dann haben wir aber dasselbe Verfahren Wie bei der Nullstellenbestimmung mit Hilfe des Teilungsverfahrens unter Berücksichtigung der Vorzeichen der Funktionswerte an den Grenzen des Intervalls (vgl.

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